Question

（本小題12分）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)。

（1）求的周長(zhǎng)；

（2）若的傾斜角為，求的面積。

 

Answer 1

【答案】

（1）， 的周長(zhǎng)為。

（2）。

【解析】本題考查三角形周長(zhǎng)的求法和三角形面積的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，注意橢圓定義、韋達(dá)定理在解題中的合理運(yùn)用．

（1）由橢圓的定義，得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，又AF₁+BF₁=AB，所以，△ABF₂的周長(zhǎng)=AB+AF₂+BF₂=4a．再由a²=4，能導(dǎo)出△ABF₂的周長(zhǎng)．

（2）由F₁（-1，0），AB的傾斜角為 ，知直線AB的方程為y=x+1．由

消去x，得7y²-6y-9=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），借助韋達(dá)定理能夠求出△ABF₂的面積．

解：（1）由橢圓的定義，得，， ----------2分

又，所以的周長(zhǎng)為。--------4分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514292690629309/SYS201210251430175312734431_DA.files/image012.png">，所以，故的周長(zhǎng)為。-----------5分

（2）由條件，得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514292690629309/SYS201210251430175312734431_DA.files/image014.png">的傾斜角為，所以斜率為，

故直線的方程為。-----------------6分

由消去，得， ------------------8分

設(shè)，解得， -------------10分

所以。------------------12分