Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinα，cosα），$\overrightarrow$=（6sinα+cosα，7sinα-2cosα），設f（α）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（α）的遞增區(qū)間及周期；
（2）f（α）的圖象是由y=4$\sqrt{2}$sin2α的圖象經過怎樣的變換得到的？

Answer 1

分析 （1）由向量數量積的坐標表示，和二倍角公式及兩角差的正弦公式，化簡f（α），再由正弦函數的單調增區(qū)間和周期公式，計算即可得到；
（2）運用正弦函數圖象的相位變換和上下平移變換，即可得到．

解答 解：（1）f（α）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sinα（6sinα+cosα）+cosα（7sinα-2cosα）
=6sin²α+8sinαcosα-2cos²α
=3（1-cos2α）+4sin2α-（1+cos2α）
=4（sin2α-cos2α）+2=4$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+2，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2α-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{8}$≤α≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
即有f（α）的遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z，
周期為π；
（2）f（α）=4$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+2的圖象是由y=4$\sqrt{2}$sin2α的圖象
先向右平移$\frac{π}{8}$個單位，得到y(tǒng)=4$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$），再向上平移2個單位，
得到y(tǒng)=4$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+2的圖象．

點評 本題考查向量的數量積的坐標表示，主要考查三角函數的化簡，以及正弦函數的圖象和性質，和圖象變換，屬于中檔題．