Question

13．已知關于x的不等式x²-ax-4＞0在x∈[-2，1]時無解，則實數(shù)a的取值范圍是[-3，0]．

Answer 1

分析 【解法一】討論x=0、-2≤x＜0以及0＜x≤1時，不等式不成立對應a的取值范圍，求出它們的公共部分即可．
【解法二】根據(jù)題意，設f（x）=x²-ax-4，對應不等式在x∈[-2，1]時無解時滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）≤0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$，求出不等式組a的解集即可．

解答 解：【解法一】根據(jù)題意，得；
當x=0時，不等式為-4＞0不成立，此時a∈R；
當-2≤x＜0時，不等式化為ax＜x²-4，
即a＞x-$\frac{4}{x}$，
設f（x）=x-$\frac{4}{x}$，（-2≤x＜0）；
∴f′（x）=1+$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0，
f（x）是單調(diào)增函數(shù)，
f（x）_min=f（-2）=0，
不等式不成立時應滿足a≤0；
當0＜x≤1時，不等式化為ax＜x²-4，
a＜x-$\frac{4}{x}$，
設g（x）=x-$\frac{4}{x}$，（0＜x≤1），
∴g′（x）=1+$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0，
g（x）是單調(diào)增函數(shù)，g（x）_max=g（1）=-3，
不等式不成立時應滿足a≥0；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[-3，0]．
【解法二】根據(jù)題意，設f（x）=x²-ax-4，對應不等式在x∈[-2，1]時無解時，
應滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）≤0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4+2a-4≤0}\\{1-a-4≤0}\end{array}\right.$，
解得-3≤a≤0；
∴a的取值范圍是[-3，0]．
故答案為：[-3，0]．

點評 本題考查了不等式恒成立的問題，也考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，是基礎題目．