Question

8．已知曲線C₁、C₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ、ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{10}$
（Ⅰ）求曲線C₁、C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）將曲線C₁橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，再向左平移1個(gè)單位，得到曲線C₃，求曲線C₃上的點(diǎn)到曲線C₂上的點(diǎn)的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得曲線C₁、C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）曲線C₃的方程為4x²+y²=4，設(shè)曲線C₃上的任意點(diǎn)（cosθ，2sinθ），利用點(diǎn)到直線距離公式，建立關(guān)于θ的三角函數(shù)式求解．

解答 解：（Ⅰ）ρ=4cosθ得出ρ²=4ρcosθ，直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x；$\frac{\sqrt{2}}{2}$y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\sqrt{10}$，即y-x=2$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）將曲線C₁橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，再向左平移1個(gè)單位，得到曲線C₃的方程為4x²+y²=4，
設(shè)曲線C₃上的任意點(diǎn)（cosθ，2sinθ）
到曲線C₂的距離d=$\frac{|cosθ-2sinθ+2\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2\sqrt{5}-\sqrt{5}sin（θ+φ）|}{\sqrt{2}}$．
當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，到曲線C₂距離的最小值為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線參數(shù)方程求解、應(yīng)用．考查函數(shù)思想，三角函數(shù)的性質(zhì)．屬于中檔題．