Question

【題目】在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD底面ABCD,SD=2，其中分別是的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)當(dāng)點(diǎn)落在什么位置時(shí)，∥平面，證明你的結(jié)論；

(2)求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，∥平面。證明見解析；（2）。

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)P為SD的中點(diǎn)時(shí)，AP∥平面SMC，證明如下：連接PN，證明PN∥DC且，推出AM∥DC且，得到AP∥MN然后證明AP∥平面SMC．

（2）求出點(diǎn)N到平面ABCD的距離為h=1，然后求解三棱錐B﹣NMC的體積．

(1)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，∥平面。證明如下：

由三視圖知該多面體是四棱錐，其底面邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱底面，

且．

連接，

∵分別是的中點(diǎn)，

∴∥且，

又是正方形的邊的中點(diǎn)，

∴∥且，

∴∥且，即四邊形是平行四邊形，

∴∥，又平面，平面，

∴∥平面．

(2)∵點(diǎn)到平面的距離為，∴點(diǎn)到平面的距離為，

∵三棱錐的體積滿足：

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