Question

10．已知函數(shù)f（x）的定義域是R，且滿足下列三個(gè)條件
①對(duì)于任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）；
②f（1）=-2；
③當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0．
（1）判斷f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性的定義證明，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；
（2）然后利用單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系，求函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）令a=b=0，則f（0）=2f（0），則f（0）=0，
再令a=x，b=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
設(shè)x₁＞x₂≥0，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
∵x₁＞x₂≥0，所以f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在[，+∞）上單調(diào)遞減，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減；
（2）由（1）得到f（x）在[-3，3]上單調(diào)遞減，
∵f（1）=-2，
∴f（2）=2f（1）=-4，
∴f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-6，
∴函數(shù)的最小值為f（3）=-6，函數(shù)的最大值為f（-3）=-f（3）=6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用條件證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解決本題的關(guān)鍵．