Question

已知函數(shù)f（x）=a（cos²x+sinxcosx）+b
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜0且x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)整理得f（x）=

2

2

asin（2x+

π

4

）+

1

2

a+b．再由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解關(guān)于x的不等式即可得出a＞0時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，算出2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]．根據(jù)a＜0可得當(dāng)sin（2x+

π

4

）最大時(shí)函數(shù)有最小值，當(dāng)sin（2x+

π

4

）最小時(shí)函數(shù)有最大值．由此結(jié)合函數(shù)的值域，建立關(guān)于a、b的方程組即可求出a、b的值．

解答：解：（1）∵cos²x=

1

2

（1+cos2x），sinxcosx=

1

2

sin2x
∴f（x）=a（cos²x+sinxcosx）+b=

1

2

a（sin2x+cos2x）+

1

2

a+b
=

2

2

asin（2x+

π

4

）+

1

2

a+b
當(dāng)a＞0時(shí)，令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）
得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，（k∈Z），
因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，（k∈Z）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
∴當(dāng)x=

π

2

時(shí)，f（x）的最大值-

1

2

a+

1

2

a+b=4…①
當(dāng)x=

π

8

時(shí)，f（x）的最小值

2

2

a+

1

2

a+b=3…②
聯(lián)解①②，可得a=2-2

2

，b=4．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值．著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)的值域與最值等知識(shí)，屬于中檔題．