Question

如圖，P—ABCD是正四棱錐，是正方體，其中 

（1）求證：；

（2）求平面PAD與平面所成的銳二面角的余弦值；

（3）求到平面PAD的距離

Answer 1

（1）證明見解析（2）（3）

解析:

解法一：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系…………1分

（1）設(shè)E是BD的中點(diǎn)，P—ABCD是正四棱錐，∴ 

又， ∴  ∴∴

∴       即

（2）設(shè)平面PAD的法向量是，

 

∴    取得，又平面的法向量是∴      ∴

（3）   ∴到平面PAD的距離

解法二：

（1）設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，連PO；∵P—ABCD是正四棱錐，∴PO⊥面ABCD，

∴AO為PA在平面ABCD上的射影， 又ABCD為正方形，∴AO⊥BD，由三垂線定理知PA⊥BD，而BD∥B₁D₁；∴ 

（2）由題意知平面PAD與平面所成的銳二面角為二面角A-PD-B；

∵AO⊥面PBD，過O作OE垂直PD于E，連AE，

則由三垂線定理知∠AEO為二面角A-PD-B的平面角；     可以計(jì)算得， 

（3）設(shè)B₁C₁與BC的中點(diǎn)分別為M、N；則到平面PAD的距離為M到平面PAD的距離；

由V_M-PAD=V_P-ADM求得。