Question

13．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}為等比數(shù)列；
（2）記S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，若S_n＜100，求滿足條件的最大正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推式，變形可得得$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-1=\frac{1}{3}（{\frac{1}{a_n}-1}）$，從而可證數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}-1}\right\}$為等比數(shù)列；
（2）確定數(shù)列的通項，利用等比數(shù)列的求和公式求和，即可求最大的正整數(shù)n．

解答 證明：（1）∵a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-1=\frac{1}{3}（{\frac{1}{a_n}-1}）$，
∵a₁=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=$\frac{2}{3}$，
∴$\left\{{\frac{1}{a_n}-1}\right\}$為以$\frac{2}{3}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{2}{3}$×（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2×（$\frac{1}{3}$）ⁿ+1，
∴S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n+2×（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）=n+2×$\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}$=n+1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∵S_n＜100，
∴${S_n}=n+1-\frac{1}{3^n}＜100$，
故n_max=99

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．