Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的方程為$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}\\ y=2t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l的方程為kρcosθ-ρsinθ-k=0（k為實(shí)數(shù)），若直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為曲線C的焦點(diǎn)，則$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}$的值為1．

Answer 1

分析 曲線C的方程為$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}\\ y=2t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為y²=4x，其焦點(diǎn)F（1，0）．利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直線l的直角坐標(biāo)方程：kx-y-k=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，由焦點(diǎn)弦長公式可得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．代入$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}$即可得出．

解答 解：曲線C的方程為$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}\\ y=2t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為y²=4x，其焦點(diǎn)F（1，0）．
直線l的方程為kρcosθ-ρsinθ-k=0（k為實(shí)數(shù)），kx-y-k=0，化為y=k（x-1）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
x₁+x₂=$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∴|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．
∴$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}+\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}+2}{1+\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}+1}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、拋物線的焦點(diǎn)弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．