Question

已知等差數(shù)列{a_n}，前n項(xiàng)和為S_n，若a₃=3，S₄=10
（1）求通項(xiàng)公式a_n；
（2）求S_n的最小值；
（3）令bn=

1

4an2-1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a₃=3，S₄=10，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后求通項(xiàng)公式．（2）求出S_n的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)或利用等差數(shù)列的性質(zhì)求最小值．
（3）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）由題意可知，

a3=a1+2d=3 S4=4a1+ 4×3 2 d=10

⇒

a1=1 d=1

，所以a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）方法1：因?yàn)楣�差d=1＞0，所以等差數(shù)列為遞增數(shù)列，所以S_n≥S₁=1．
方法2：Sn=

n(n+1)

2

=

1

2

(n+

1

2

)2-

1

8

，對(duì)稱軸為n=-

1

2

，所以當(dāng)n=1時(shí)，S_n最小為S₁=1．
（3）因?yàn)?span id="iwrav5r" class="MathJye">bn=

1

4 a 2 n -1

=

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以Tn=b1+b2+…+bn=

1

2

[1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和，以及利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和的問(wèn)題，要求熟練掌握．