Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2,a_n+1=a_n+(n=1,2,3,…)

求證：a_n＞對(duì)一切正整數(shù)n成立.

Answer 1

證法一：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2＞,不等式成立,

假設(shè)n=k時(shí)，a_k＞成立.

當(dāng)n=k+1時(shí),a_k+1²=a_k²++2＞2k+3+＞2(k+1)+1.

∴n=k+1時(shí)，a_k+1＞成立.

綜上（1）（2）可知，a_n＞對(duì)一切正整數(shù)成立.

證法二：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2＞=,結(jié)論成立.

假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a_k＞.

當(dāng)n=k+1時(shí)，由函數(shù)f(x)=x+(x＞1)的單調(diào)性和歸納假設(shè)有a_k+1=a_k+＞+.

因此只需證+≥,

而這等價(jià)于()+()²≥

≥0顯然成立.

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.

因此，a_n＞對(duì)一切正整數(shù)n均成立.