Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=，EF=2，
（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）當(dāng)AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°？

Answer 1

（Ⅰ）證明：過點E作EG⊥CF并CF于G，連結(jié)DG， 可得四邊形BCGE為矩形。 又ABCD為矩形，所以AD∥EG， 從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG， 因為AE平面DCF，DG平面DCF， 所以AE∥平面DCF。 （Ⅱ）解：過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連結(jié)AH， 由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC， 得AB⊥平面BEFC，從而AH⊥EF， 所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角， 在Rt△EFG中，因為EG=AD=，EF=2， 所以， 又因為CE⊥EF，所以CF=4，從而BE=CG=3， 于是BH=BE·sin∠BEH=， 因為AB=BH·tan∠AHB， 所以當(dāng)AB為時，二面角A-EF-G的大小為60°。