Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足2+2S_n=3a_n（n∈N^*）．?dāng)?shù)列bn=．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）若對于任意n∈N^*，不等式b_n≥（n+1）λ恒成立，求實數(shù)λ的最大值；
（3）對于數(shù)列{b_n}中值為整數(shù)的項，按照原數(shù)列中前后順序排列得到新的數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中2+2S_n=3a_n，n∈N^*，我們可以得到 ，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）由（1）中結(jié)論，我們易求出數(shù)列{b_n}的通項公式，下面分類討論：①當(dāng)n=1時，b₁≥2λ，②n≥2時，令f（n）=，利用f（n）=，（n≥2）為遞增數(shù)列．f（n）_min=，從而λ的最大值．
（3）根據(jù)當(dāng)n=2k-1（k≥2）時，及當(dāng)n=2k（k≥1）時，求出c_n的解析式，
解答：解：（1）a₁=2，2+2S_n=3a_n，2+2S_n+1=3a_n+1，
所以2a_n+1=3a_n+1-3a_n，
即：恒成立．
所以，{a_n}為以2為首項，公比為3的等比數(shù)列．
（2）b_n=．
①n=1時，b₁≥2λ，
②n≥2時，≥（1+n）λ，λ≤
令f（n）=，f（n+1）-f（n）=≥0（n≥2）
所以，f（n）=，（n≥2）為遞增數(shù)列．f（n）_min=，
從而
由①，②知 ，所以λ的最大值等于 ．
（3）c₁=1
當(dāng)n=2k-1（k≥2）時，c_n=2×
當(dāng)n=2k（k≥1）時，c_n=
點評：本題以數(shù)列遞推式為依托，主要考查等比關(guān)系的確定，數(shù)列的函數(shù)特征，數(shù)列遞推式，數(shù)列與不等式的綜合．其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的定義，證得 為定值，但要注意由限制首項不為0．