Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若；則點(diǎn)A的坐標(biāo)是    ．

Answer 1

【答案】分析：作出直線(xiàn)F₁A的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)B'，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，得，利用橢圓的焦半徑公式及向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示列出關(guān)于x₁，x₂的方程，解之即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)．
解答：解：直線(xiàn)F₁A的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)B'
又∵
由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，得
設(shè)A（x₁，y₁），B'（x₂，y₂）
由于橢圓的a=，b=1，c=
∴e=，F(xiàn)₁（，0）．
∵

從而有：

由于≤x₁，x₂，
∴，，
即=5×
=5． ①
又∵三點(diǎn)A，F(xiàn)₁，B′共線(xiàn)，
∴（，y₁-0）=5（--x₂，0-y₂）
∴．②
由①+②得：x₁=0．
代入橢圓的方程得：y₁=±1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）
故答案為：（0，±1）．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、向量共線(xiàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．