Question

平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，求證這n條直線把平面分成f（n）=個(gè)部分.

Answer 1

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，一條直線將平面分成兩個(gè)部分，而f（1）==2，∴命題成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即k條直線把平面分成f（k）=個(gè)部分.

則當(dāng)n=k+1時(shí)，即增加一條直線l，因?yàn)槿魏蝺蓷l直線不平行，所以l與k條直線都相交有k個(gè)交點(diǎn)；又因?yàn)槿魏稳龡l不共點(diǎn)，所以這k個(gè)交點(diǎn)不同于k條直線的交點(diǎn)，且k個(gè)交點(diǎn)也互不相同.如此這k個(gè)交點(diǎn)把直線l分成k+1段，每一段把它所在的平面區(qū)域分為兩部分，故新增加的平面分為k+1部分.

∴f（k+1）=f（k）+k+1=+k+1

=

=.

∴n=k+1時(shí)命題成立.

由（1）（2）可知，當(dāng)n∈N^*時(shí)，命題成立.

點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題，重難點(diǎn)是處理好當(dāng)n=k+1時(shí)利用假設(shè)結(jié)合幾何知識(shí)證明命題成立.而本題的關(guān)鍵是第k+1條直線，分出多少個(gè)平面，證明中巧妙地轉(zhuǎn)化為該直線被分成多少段的問(wèn)題.