Question

橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，橢圓左準(zhǔn)線與x軸交于E(-4，0)，過E點(diǎn)作不與y軸垂直的直線l與橢圓交于A、B兩個不同的點(diǎn)(A在E，B之間)，
(1)求橢圓的方程；
(2)求△AOB面積的最大值；
(3)設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若有，求實(shí)數(shù)λ，并求此時直線l的方程。

Answer 1

解：(1)橢圓方程為；
(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由于l不與y軸垂直，
設(shè)直線l：x=my-4，與橢圓方程聯(lián)立得，
消去x得：，
由Δ＞0得|m|＞2，
，
原點(diǎn)O到直線l的距離，
所以△AOB的面積，
令，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，S取得最大值，
所以△AOB面積的最大值為；
(3)F₁(-1，0)，F(xiàn)₂(1，0)，由平面幾何知識可知，△EAF₁與△EBF₂相似，
所以，∴，
易得l的方程為或。