Question

20．若函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）存在導(dǎo)數(shù)，記f′（x）的導(dǎo)數(shù)為fⁿ（x）．如果f（x）對任意x∈（a，b），都有fⁿ（x）＜0成立，則f（x）有如下性質(zhì)：
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$）≥$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）+…+f（{x}_{n}）}{n}$．其中n∈N^*，x₁，x₂，…，x_n∈（a，b）．若f（x）=sinx，則fⁿ（x）=-sinx；根據(jù)上述性質(zhì)推斷：當(dāng)x₁+x₂+x₃=π且x₁，x₂，x₃∈（0，π）時(shí)，根據(jù)上述性質(zhì)推斷：sinx₁+sinx₂+sinx₃的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=sinx，x∈（0，π），求導(dǎo)，則f″（x）=-sinx，由正弦函數(shù)的圖象可知f″（x）＜0成立，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)sinx₁+sinx₂+sinx₃≤3sin（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}{3}$），即可求得sinx₁+sinx₂+sinx₃的最大值．

解答 解：設(shè)f（x）=sinx，x∈（0，π），則f′（x）=cosx，則f″（x）=-sinx，x∈（0，π），
f（x）有如下性質(zhì)：f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$）≥$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）+…+f（{x}_{n}）}{n}$．
則sinx₁+sinx₂+sinx₃≤3sin（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}{3}$）=3×sin$\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴sinA+sinB+sinC的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：-sinx，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．