Question

給出下列命題：
（1）設

e1

、

e2

是兩個單位向量，它們的夾角是60°，則（2

e1

-

e2

）•（-3

e1

+2

e2

）=-

9

2

；
（2）已知函數(shù)f（x）=

log2x(x＞1) -x2+1(x≤1)

，若函數(shù)y=f（x）-m有3個零點，則0＜m＜1；
（3）已知函數(shù)f（x）=|2^x-1|的定義域和值域都是[a，b]（b＞a），則a+b=1；
（4）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）•[1-f（x）]=1+f（x），f（-1）=2+

3

，則f（2015）=

3

-2．
其中，正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1），利用數(shù)量積的概念及運算性質(zhì)對（2

e1

-

e2

）•（-3

e1

+2

e2

）計算可判斷（1）；
（2），依題意，作圖分析，可判斷（2）；
（3），利用函數(shù)f（x）=|2^x-1|的圖象與性質(zhì)可判斷（3）；
（4），依題意，可求得f（x）是以8為周期的函數(shù)，可判斷（4）．

解答： 解：（1）∵

e1

、

e2

是兩個單位向量，它們的夾角是60°，則（2

e1

-

e2

）•（-3

e1

+2

e2

）=-6

e1

2+7

e1

•

e2

-2

e2

2=-6+7×1×1×

1

2

-2=-

9

2

，故（1）正確；
（2）由f（x）-m=0得：m=f（x），

由圖可知，函數(shù)y=f（x）-m有3個零點，則0＜m＜1，故（2）正確；
（3），∵函數(shù)f（x）=|2^x-1|在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)f（x）=|2^x-1|的定義域和值域都是[a，b]（b＞a），
因此應有

|2a-1|=a |2b-1|=b

，又b＞a，解得

a=0 b=1

，
∴a+b=1，故（3）正確．
（4），∵f（x+2）•[1-f（x）]=1+f（x），f（-1）=2+

3

，
∴f（x）≠1，
∴f（x+2）=

1+f(x)

1-f(x)

，f（x+4）=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
∴f[（x+4）+4]=f（x），即f（x+8）=f（x），
∴f（x）是以8為周期的函數(shù)，
∴f（2015）=f（252×8-1）=f（-1）=2+

3

≠

3

-2，故（4）錯誤．
故答案為：（1）（2）（3）．

點評：本題考查數(shù)量積的概念與運算性質(zhì)，考查函數(shù)的零點與函數(shù)的周期性的判定與應用，考查指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)，屬于難題．