Question

3．關于函數(shù)f（x）=（$\frac{3}{2}$）^x-sinx-1，給出下列四個命題：
①該函數(shù)沒有大于0的零點；
②該函數(shù)有無數(shù)個零點；
③該函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點；
④若x₀是函數(shù)的零點，則x₀＜2．
其中所有正確命題的序號是②③④．

Answer 1

分析 如圖所示，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點存在判定定理、圖象的性質(zhì)即可判斷出．

解答 解：①函數(shù)f（x）=（$\frac{3}{2}$）^x-sinx-1，如圖所示，∵f（2）=$\frac{9}{4}-sin2-1$＞0，f（1）=$\frac{1}{2}$-sin1＜0，
∴$f（\frac{3}{2}）f（1）$＜0，因此函數(shù)f（x）在（1，2）內(nèi)存在零點，故①不正確；
②由圖象可知：x＜0時，函數(shù)有無數(shù)個零點，正確；
③當x＞2時，f′（x）=$（\frac{3}{2}）^{x}ln\frac{3}{2}$-cosx＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，因此x＞2，時，不存在零點．
故該函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點；
④若x₀是函數(shù)的零點，由③可知：x₀＜2，正確．
其中所有正確命題的序號是：②③④．
故答案為：②③④．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點存在判定定理、圖象的性質(zhì)、簡易邏輯的判定，考查了數(shù)形結合的思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．