Question

（2012•德州一模）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n+2n=2a_n．
（I）證明：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），求證：

1

b 2 1

+

1

b 2 2

+…+

1

b 2 n

＜1．

Answer 1

分析：（I）由S_n+2n=2a_n得S_n=2a_n-2n，再寫一式，兩式相減，即可證數(shù)列{a_n+2}是以a₁+2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）由b_n=log₂（a_n+2）=log22n+1=n+1，則

1

bn2

=

1

(n+1)2

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此可證結論．

解答：證明：（I）由S_n+2n=2a_n得 S_n=2a_n-2n
當n∈N^*時，S_n=2a_n-2n，①
當n=1 時，S₁=2a₁-2，則a₁=2，
則當n≥2，n∈N^*時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴數(shù)列{a_n+2}是以a₁+2為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（Ⅱ）由b_n=log₂（a_n+2）=log22n+1=n+1，
∴

1

bn2

=

1

(n+1)2

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴

1

b 2 1

+

1

b 2 2

+…+

1

b 2 n

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項，正確放縮是關鍵．