Question

已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的離心率e=,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點間的距離為,直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與雙曲線交于不同的兩點C、D，且C、D兩點同在以A為圓心的一個圓上.

（1）求此雙曲線方程；

（2）求k,m的關系；

（3）求m的取值范圍.

Answer 1

解:（1）過A（0，-b）,B(a,0)的直線方程為bx-ay-ab=0.由距離公式得,又e=,

解得b=1,a=3.所以，雙曲線方程為-y²=1.

（2）由消去y，得（3k²-1）x²+6kmx+3(m²+1)=0①

從題設知3k²-1≠0,Δ=(6km)²-12(3k²-1)(m²+1)＞0

∴m²-3k²+1＞0.②

設C（x₁,y₁）,D(x₂,y₂)，CD中點P（x₃,y₃）,

∵C、D兩點在以A為圓心的同一個圓上，∴P點為CD中點，且AP⊥CD.

從①式得x₁+x₂=,所以x₃=.

由P(x₃,y₃)在直線y=kx+m上，得y₃=kx₃+m=.

所以k_AP=,

由于AP⊥CD,故=-1,

化簡得3k²=4m+1,③

綜上得k、m間的關系：3k²=4m+1,且m²-3k²+1＞0.

（3）由3k²=4m+1＞0(k≠0),得m＞.

由消去k，得m²-(4m+1)+1＞0,

即m²-4m＞0.解得m＜0,或m＞4.

所以＜m＜0,或m＞4.