Question

2．北京時(shí)間2015年07月31日17時(shí)57分，在馬來(lái)西亞首都吉隆坡舉行的國(guó)際奧委會(huì)第128次全會(huì)上，國(guó)際奧委會(huì)主席托馬斯．巴赫宣布北京贏得2022年第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（以下簡(jiǎn)稱冬奧會(huì)）的舉辦權(quán)，華夏大地一片歡騰，某高中為了調(diào)查學(xué)生對(duì)冬奧會(huì)的了解惰況，組織了“冬奧會(huì)知多少”的知識(shí)問(wèn)卷測(cè)試，從該校2400名學(xué)生中隨機(jī)抽取12人進(jìn)行知識(shí)問(wèn)卷測(cè)試，測(cè)試成績(jī)（百分制）以莖葉圖形式表示（如圖所示），根據(jù)主辦方標(biāo)準(zhǔn)，測(cè)試成績(jī)低于80分的為“非體育迷”，不低于80分的為“體育迷”，
（1）將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，若從該校學(xué)生中任選4人進(jìn)行深度訪談，求恰好有1人是“體育迷”的概率；
（2）從抽取的12名學(xué)生中隨機(jī)選取3人，記ξ表示“體育迷”的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖得從該校任取一人，取到“體育謎”的頻率為$\frac{2}{3}$，由此能求出將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，若從該校學(xué)生中任選4人進(jìn)行深度訪談，恰好有1人是“體育迷”的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由莖葉圖得從該校2400名學(xué)生中隨機(jī)抽取12人中，“非體育迷”有4人，“體育迷”有8人，
∴從該校任取一人，取到“體育謎”的頻率為$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，
∴將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，若從該校學(xué)生中任選4人進(jìn)行深度訪談，
恰好有1人是“體育迷”的概率p=${C}_{4}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{8}{81}$．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{2}{3}$），
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{12}{27}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

Eξ=3×$\frac{2}{3}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．