Question

設a為實數，函數f(x)=x²+|x-a|+1，x∈R，
(1)討論f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的最小值．

Answer 1

解：(1)當a=0時，f(-x)=(-x)²+|-x|+1=f(x)，此時f(x)為偶函數；
當a≠0時，f(a)=a²+1，f(-a)=a²+2|a|+1，
∴f(-a)≠f(a)，f(-a)≠-f(a)，
此時函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數．
(2)①當x≤a時，函數f(x)=x²-x+a+1=+a，
若，則函數f(x)在(-∞，a]上單調遞減，
∴函數f(x)在(-∞，a]上單調遞減，
∴函數f(x)在(-∞，a]上的最小值為f(a)=a²+1；
若，函數f(x)在(-∞，a]上的最小值為，且；
②當x≥a時，函數f(x)=x²+x-a+1=-a+，
若，則函數f(x)在[a，+∞)上最小值為，且；
若，則函數f(x)在[a，+∞)上單調遞減，
∴函數f(x)在[a，+∞)上的最小值是f(a)=a²+1；
綜上，當a≤時，函數f(x)的最小值是；
當時，函數f(x)的最小值是a²+1；
當時，函數f(x)的最小值是。