Question

已知函數(shù)，（其中）．

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）求證：當(dāng)時(shí)，．（說明：e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）極小值為，無極大值（Ⅱ）（Ⅲ）問題等價(jià)于．由（Ⅰ）知的最小值為．設(shè)，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴，

∵=，∴，∴，故當(dāng)時(shí)，

【解析】

試題分析：（Ⅰ），

∴（，），

由，得，由，得，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的極小值為，無極大值．  4分

（Ⅱ）函數(shù)，

則，

令，∵，解得，或（舍去），

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，

只需即∴

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．   9分

（Ⅲ）問題等價(jià)于．由（Ⅰ）知的最小值為．

設(shè)，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

∴，

∵=，

∴，∴，故當(dāng)時(shí)，．  14分

考點(diǎn)：函數(shù)極值最值

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)極值最值都需要首先找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二問將函數(shù)存在零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為最值邊界值的范圍，第三問將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，這兩種轉(zhuǎn)化是函數(shù)綜合題中經(jīng)�？嫉降�