Question

（08年龍巖一中沖刺文）（12分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD＝1，，點E在棱AB上移動.

    （1）若E為AB中點，求證：；

    （2）若E為AB中點，求E到面的距離；

    （3）AE等于何值時，二面角的大小

為

Answer 1

解析：方法一：

（1）證明：PD垂直于底面ABCD，

在矩形ABCD中，AD＝1，，E為AB中點，可得，

，，又

……………4分

 

（2）設(shè)點E到平面的距離為h，由題設(shè)可得

計算得

          則　　　　　　　……………8分

（3）過D作，垂足為H，連則

為二面角的平面角.

設(shè)，在直角中，

在直角中，在直角中，

在直角中，，在直角中，

因為以上各步步步可逆，所以當時，二面角的大小為……12分

方法二：以Ｄ為原點，如圖建立空間坐標系，

有

（1）證明：因為E是AB中點，有

∵，

，

∴，

所以　　……………4分

（2）解：因為E是AB中點，有，      設(shè)平面的法向量為則也即，

得，從而，點E到平面的距離………8分

（3）設(shè)，平面的法向量為

由令，得

則于是

（不合，舍去），

即時，二面角的大小為　　　…………………12分