Question

設(shè)f(x)=6cos2x-

3

sin2x
（1）求f（x）的最大值及最小正周期；
（2）求f(

π

12

)的值；
（3）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二倍角的三角函數(shù)公式與輔助角公式化簡，可得f（x）=2

3

cos(2x+

π

6

)+3，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計算，可得f（x）的最大值及最小正周期；
（2）由（1）求得的f（x）的表達式，代入

π

12

的值即可算出f(

π

12

)的值；
（3）根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式，即可得到f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（1）∵f(x)=6cos2x-

3

sin2x，
∴f(x)=6•

1+cos2x

2

-

3

sin2x=3cos2x-

3

sin2x+3
=2

3

(

3

2

cos2x-

1

2

sin2x)+3=2

3

cos(2x+

π

6

)+3
因此，f（x）的最大值為2

3

+3，最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）得f（x）=2

3

cos(2x+

π

6

)+3，
∴f(

π

12

)=2

3

cos

π

3

+3=

3

+3；
（3）設(shè)2kπ≤2x+

π

6

≤π+2kπ，解得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z）．
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[-

π

12

+kπ

5π

12

+kπ]．

點評：本題已知三角函數(shù)的表達式，求函數(shù)的最值、周期與單調(diào)區(qū)間．著重考查了三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．