Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線(xiàn)段AB、BC的中點(diǎn)，
（1）證明：PF⊥FD；
（2）判斷并說(shuō)明PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；        
（3）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ 平面， ，AB=1，AD=2， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則， 不妨令， ∵，， ∴， 即PF⊥FD。 （Ⅱ）設(shè)平面PFD的法向量為， 由，得， 令z=1，解得：， ∴， 設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為，， 則， 要使EG∥平面PFD，只需， 即， 得， 從而滿(mǎn)足的點(diǎn)G即為所求。 （Ⅲ）∵AB⊥平面PAD， ∴是平面PAD的法向量，易得， ∵PA⊥平面ABCD， ∴是PB與平面ABCD所成的角， 得，PA=1， 平面PFD的法向量為， ∴， 故所求二面角A-PD-F的余弦值為。