Question

（08年廣東佛山質(zhì)檢文）設(shè)有拋物線C：，通過原點(diǎn)O作C的切線，使切點(diǎn)在第一象限.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）過點(diǎn)作切線的垂線，求它與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)Q的坐標(biāo).

Answer 1

解析：（I）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (x₁, y₁)，則y₁=kx₁……①，y₁= +x₁ 4 ……②，

①代入②，得：+(k)x₁+4=0                           …………………………2分

因?yàn)辄c(diǎn)P為切點(diǎn)，所以 (k)²16=0，得：k=或k=      …………………………4分

當(dāng)k=時(shí)x₁= 2，y₁= 17；當(dāng)k=時(shí)，x₁= 2，y₁= 1；

因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以所求的斜率k=                …………………………7分

（II）過 P點(diǎn)作切線的垂線，其方程為：y= 2x+5………③，     …………………………9分

代入拋物線方程，得： x²x+9=0，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x₂, y₂)，則2x₂=9，所以x₂=，y₂= 4，

所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 (, 4)，                              …………………………12分

方法二、由題，，不妨設(shè)切點(diǎn)為且.

，   則，              …………………………3分

從而切線方程為，由于切線過原點(diǎn)，所以

                                       …………………………5分

即，于是，從而.

下同（II）