Question

【題目】設函數，是常數．

（Ⅰ）若，且曲線的切線經過坐標原點，求該切線的方程；

（Ⅱ）討論的零點的個數．

Answer 1

【答案】（1）（2）時，無零點；或時，有一個零點；時，有兩個零點

【解析】試題分析：（Ⅰ）將代入后對函數求導，求出此時的導數即切線斜率，可得切線方程；　（Ⅱ）函數求導后可得，對按進行討論，判斷單調性，利用單調性求出極值可得零點個數．

試題解析：（Ⅰ），

經過切點的切線方程為

由，得，所求切線為

（Ⅱ），當時，由得

⑴時，若，則；若，則。函數在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增，的最小值為

①時，，無零點

②時，，只有一個零點

③時，，根據與函數的單調性，在區(qū)間和各有一個零點，共有兩個零點

⑵時，，無零點

⑶時，由得，，由函數圖象知，曲線與只有一個交點，所以只有一個零點。

綜上所述，時，無零點；或時，有一個零點；時，有兩個零點