Question

若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，過其左焦點(diǎn)F作x軸的垂線交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，且

MA

•

NA

＞0，則該雙曲線離心率的取值范圍為（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（1，2）
• C、（

  3

  2

  ，+∞）
• D、（1，

  3

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知條件，結(jié)合雙曲線性質(zhì)推導(dǎo)出|MF|=|NF|=

b2

a

，|AF|=a+c，∠MAF＜45°，所以a+c＞

b2

a

，由此能求出雙曲線的離心率的取值范圍．

解答： 解：如圖，∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，
過其左焦點(diǎn)F作x軸的垂線交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，
∴|MF|=|NF|=

b2

a

，|AF|=a+c，
∵

MA

•

NA

＞0，
∴∠MAF＜90°，
∵M(jìn)N⊥AF，
∴∠MAF＜45°，
∴a+c＞

b2

a

，
∴a²+ac＞b²=c²-a²，
∴e²-e-2＜0，
解得-1＜e＜2，
∵e＞1，∴1＜e＜2，
∴離心率的取值范圍是（1，2）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．