Question

7．若拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)M到準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為5和4，若點(diǎn)M在焦點(diǎn)F的右側(cè)，則此時(shí)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1或4，拋物線方程為y²=4x或y²=16x．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知M的縱坐標(biāo)為4，設(shè)M（a，4），利用點(diǎn)M在拋物線上和拋物線的定義，即可得到關(guān)于p的一個(gè)方程，求解即可得到p的值，從而求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、拋物線方程．

解答 解：∵M(jìn)是拋物線y²=2px（p＞0）上的點(diǎn)，且M到對稱軸的距離為4，
則M的縱坐標(biāo)為4，設(shè)M（a，4），
根據(jù)M是拋物線y²=2px（p＞0）上的點(diǎn)，
∴4²=2pa，故a=$\frac{8}{p}$，
根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，M到此拋物線的準(zhǔn)線的距離為$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$，
又∵M(jìn)到此拋物線的準(zhǔn)線的距離為5，
∴$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=5，
即p²-10p+16=0，
解得p=2或p=8，
故a=4或a=1，
點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1或4．拋物線方程為y²=4x或y²=16x
故答案為：1或4；y²=4x或y²=16x．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的定義，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的性質(zhì)．求解圓錐曲線相關(guān)問題時(shí)，要注意其定義的應(yīng)用，比如拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，解題時(shí)要多注意它的運(yùn)用．屬于中檔題．