Question

已知x₁,x₂均為正數(shù)，求證：

Answer 1

思路分析：待證不等式較為復(fù)雜，首先想到化簡(jiǎn)，由于均為正數(shù)，兩邊平方進(jìn)而用基本不等式可證之；當(dāng)然另一方面，用反證法也不失為一個(gè)好的選擇.

證明：（分析法）由于不等式兩邊均為正數(shù)，平方后只須證：

,

即：≥1+x₁x₂,

再平方得：（1+x₁²）(1+x₂²)≥1+2x₁x₂+x₁²x₂²,

化簡(jiǎn)整理得：x₁²+x₂²≥2x₁x₂（顯然成立）,

∴原式成立.

（反證法）假設(shè),

化簡(jiǎn)可得：x₁²+x₂²＜2x₁x₂（不可能）,

∴原式成立.