Question

6．如圖，在三棱柱ABM-DCN中，側面ADNM⊥側面ABCD，且側面ABCD是菱形，
∠DAB=60°，AD=2，側面ADNM是矩形，AM=1，E是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）求平面AMN與平面BMC所成二面角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接NB交MC與點G，通過中位線定理及線面平行的判定定理即可；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系如圖，則所求二面角的余弦值即為平面AMN的一個法向量與平面BMC的法向量的夾角的余弦值的絕對值，計算即可．

解答 （Ⅰ）證明：如圖連接NB交MC于點G，則EG是△ABN的一條中位線，故EG∥AN；
∵EG?平面MEC，∴AN∥平面MEC；
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標系，其中F為BC中點；
則N（0，0，1），M（2，0，1），A（2，0，0），E（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
B（1，$\sqrt{3}$，0），F（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），
所以，平面AMN的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{DF}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
設平面BMC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則可列方程為：$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MB}=0$且$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0$，
即$-x+\sqrt{3}y-z=0$且-x=0，所以$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
設平面AMN與平面BMC所成二面角的平面角為θ，
則|cosθ|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，故$θ=\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關系，二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．