Question

已知圓C₁的方程為，定直線l的方程為．動圓C與圓C₁外切，且與直線l相切．

（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡M的方程；

（2）直線與軌跡M相切于第一象限的點P，過點P作直線的垂線恰好經(jīng)過點A（0，6），并交軌跡M于異于點P的點Q，記為POQ（O為坐標(biāo)原點）的面積，求的值

 

Answer 1

【答案】

Ⅰ）設(shè)動圓圓心C的坐標(biāo)為，動圓半徑為R，

則，且．．．．．．．．．．2分

    可得 ．．．．．．．．．．．．．3分

由于圓C₁在直線l的上方，所以動圓C的圓心C應(yīng)該在直線l的上方，所以有，

，整理得，即為動圓圓心C的軌跡M的方程．．．．．5分

（2）如圖示，設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，．．．．．．．．6分

，所以直線PQ的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又,．點P在第一象限，，--9分

點P坐標(biāo)為（4,2），直線PQ的方程為．--------------10分

聯(lián)立得，解得或4，點Q的坐標(biāo)為．所以 

【解析】I)設(shè)動點C（x,y） ,然后根據(jù)條件建立方程，再化簡即可，化簡時要注意等價轉(zhuǎn)化.不可增解和少解.

（II）解決此題的關(guān)鍵是先求出直線PQ的方程，可以設(shè)點P的坐標(biāo)為,然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出以P為切點的斜率，把切線方程表示出來，根據(jù)過點A，建立關(guān)于x₀的方程，求出x₀,問題得解.