Question

15．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥$\frac{1}{2}$，則f（x）＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集為（　�。�

• A． {x|x＜1}
• B． {x|x＞1}
• C． {x|x＜-1}
• D． {x|x＞-1}

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$，
則g'（x）=f'（x）-$\frac{1}{2}$，
∵f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥$\frac{1}{2}$，
∴g'（x））=f'（x）-$\frac{1}{2}≥$0，
即函數(shù)g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵g（1）=f（1）-$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2}$=0，
∴當(dāng)x＜1時(shí)，g（x）＜g（1）=0，
∴不等式f（x）＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集為（-∞，1），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的解法，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．