Question

10．如圖所示，A，B是兩個垃圾中轉(zhuǎn)站，B在A的正東方向16千米處，AB的南面為居民生活區(qū)．為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的北面建一個垃圾發(fā)電廠P．垃圾發(fā)電廠P的選址擬滿足以下兩個要求（A，B，P可看成三個點(diǎn)）：①垃圾發(fā)電廠到兩個垃圾中轉(zhuǎn)站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數(shù)相同；②垃圾發(fā)電廠應(yīng)盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)（這里參考的指標(biāo)是點(diǎn)P到直線AB的距離要盡可能大）．現(xiàn)估測得A，B兩個中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為30噸和50噸，問垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時滿足上述要求？

Answer 1

分析 由條件可設(shè)PA=5x，PB=3x，運(yùn)用余弦定理，即可得到cos∠PAB，由同角的平方關(guān)系可得sin∠PAB，求得點(diǎn)P到直線AB的距離h=PAsin∠PAB，化簡整理配方，由二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．

解答 解：由條件①，得$\frac{PA}{PB}$=$\frac{50}{30}$=$\frac{5}{3}$，
∵PA=5x，∴PB=3x，
則cos∠PAB=$\frac{25{x}^{2}+225-9{x}^{2}}{2×16×5x}$=$\frac{x}{10}$+$\frac{8}{5x}$，
由同角的平方關(guān)系可得sin∠PAB=$\sqrt{1-（\frac{x}{10}+\frac{8}{5x}）^{2}}$，
所以點(diǎn)P到直線AB的距離h=PAsin∠PAB=5x•$\sqrt{1-（\frac{x}{10}+\frac{8}{5x}）^{2}}$
=$\sqrt{-\frac{1}{4}（{x}^{2}-34）^{2}+225}$，
∵cos∠PAB≤1，∴$\frac{x}{10}$+$\frac{8}{5x}$≤1，∴2≤x≤8，
所以當(dāng)x²=34，即x=$\sqrt{34}$時，h取得最大值15千米．
即選址應(yīng)滿足PA=5$\sqrt{34}$千米，PB=3$\sqrt{34}$千米．

點(diǎn)評 本題考查解三角形的數(shù)學(xué)模型的解法，注意運(yùn)用余弦定理和同角的平方關(guān)系和二次函數(shù)的最值的求法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．