Question

（2013•浙江模擬）四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，ABCE為菱形，∠BAD=120°，PA=AB，G、F分別是線段CE、PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：FG∥平面PDC；
（Ⅱ） 求二面角F-CD-G的正切值．

Answer 1

分析：（I）連接BD與CE交于點(diǎn)G^′，利用平行線分線段成比例定理可證明G^′與點(diǎn)G重合．同理證明FG∥PD，利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（II）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量即可得出二面角的平面角．

解答：證明：（I）連接BD與CE交于點(diǎn)G^′，∵E為AD的中點(diǎn)，ABCE為菱形，
∴

CG′

G′E

=

BC

ED

=1，得到G^′為線段CE的中點(diǎn)，故G^′與點(diǎn)G重合．
∵

BG

GD

=

BC

ED

=

BF

FP

=1，∴FG∥PD，
又∵FG?平面PDC，PD?平面PDC．
∴FG∥平面PDC．
（II）不妨設(shè)AB=2，則P （0，0，2），B(

3

，-1，0)，F(xiàn)(

3

2

，-

1

2

，1)，C(

3

，1，0)，D（0，4，0）．
∴

CD

=(-

3

，3，0)，

DF

=(

3

2

，-

9

2

，1)．
設(shè)平面CDF的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • CD =- 3 x+3y=0 n • DF = 3 2 x- 9 2 y+z=0

，令x=

3

，則y=1，z=3，
∴

n

=(

3

，1，3)．
取

m

=(0，0，1)作為平面GCD的法向量，
則cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

=

3

13

，即為二面角的余弦值．
設(shè)二面角的平面角為θ，則cosθ=

3

13

，sinθ=

1-cos2θ

=

2

13

，∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

2

3

．
∴二面角F-CD-G的正切值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握平行線分線段成比例定理、菱形的性質(zhì)、線面平行的判定定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量得出二面角的平面角的方法是解題的關(guān)鍵．