Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC的中點(diǎn)O為球心、AC為直徑的球面交DAPD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N。

（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線CD與平面ACM所成的角的大�。�
（3）求點(diǎn)N到平面ACM的距離。

Answer 1

解：（1）依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，則AM⊥MC。 又因?yàn)镻A⊥平面ABCD， 則PA⊥CD， 又CD⊥AD， 所以CD⊥平面PAD， 則CD⊥AM， 所以AM⊥平面PCD 所以平面ABM⊥平面PCD。 （2）由（1）知，， 又， 則M是PD的中點(diǎn)可得， 則 設(shè)D到平面ACM的距離為h， 由，即， 可求得， 設(shè)所求角為θ，則， 。 （3）可求得PC=6 因?yàn)锳N⊥NC， 由，得PN。 所以。 故N點(diǎn)到平面ACM的距離等于P點(diǎn)到平面ACM距離的。 又因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)， 則P、D到平面ACM的距離相等， 由（2）可知所求距離為。