Question

14．已知雙曲線(xiàn)C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸，它的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)C₁的左焦點(diǎn)F₁，若雙曲線(xiàn)C₁與拋物線(xiàn)C₂的交點(diǎn)P滿(mǎn)足PF₂⊥F₁F₂，雙曲線(xiàn)C₁的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)距離的平方是2+2$\sqrt{2}$，則拋物線(xiàn)C₂的方程是y²=4（$\sqrt{2}$+1）x．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和方程，根據(jù)條件建立方程組關(guān)系求出c即可得到結(jié)論．

解答 解：∵拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸，它的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)C₁的左焦點(diǎn)F₁，
∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），則拋物線(xiàn)方程為y²=4cx，
若雙曲線(xiàn)C₁與拋物線(xiàn)C₂的交點(diǎn)P滿(mǎn)足PF₂⊥F₁F₂，
則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=c，則y²=4c•c，則y=±2c，不妨設(shè)P（c，2c），
則PF₂=2c，F(xiàn)₁F₂=2c，則PF₁=2$\sqrt{2}$c，
∵PF₁-PF₂=2a，
∴2$\sqrt{2}$c-2c=2a，
則（$\sqrt{2}$-1）c=a，①
雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)F₂（c，0）到漸近線(xiàn)y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0的距離d=$\frac{|bc|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
∵雙曲線(xiàn)C₁的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)距離的平方是2+2$\sqrt{2}$，
∴b²=2+2$\sqrt{2}$，②
聯(lián)立①②得c=$\sqrt{2}$+1，
則拋物線(xiàn)的方程為y²=4（$\sqrt{2}$+1）x，
故答案為：y²=4（$\sqrt{2}$+1）x

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，根據(jù)條件建立方程組關(guān)系求出c的值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．