Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形且與底面ABCD垂直，∠ADC=60°且ABCD為菱形．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求異面直線PB和AD所成角的余弦值；
（3）求二面角P-AD-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）取CD中點O，連OA、OP，根據(jù)面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，得PO⊥面ABCD，即AO為PA在面ABCD上的射影，利用AO⊥CD，證明PA⊥CD．
（2）先找出線線角∠PBC是PB和AD所成的角，進而可求；
（3）先找出二面角的平面角：由O引OG⊥AD于G，連PG，則PG⊥AD，∠PGO為二面角P-AD-C為平面角，進而可求．

解答：解：（1）證明，取CD中點O，連OA、OP，
∵面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，
∴PO⊥面ABCD，即AO為PA在面ABCD上的射影，又在菱形ABCD中，∠ADC=60°，O為CD中點∴AO⊥CD，∴PA⊥CD．
（2）∵AD∥BC
∴∠PBC是PB和AD所成的角，
在△PBC中，PC=BC=2
PB=

10

故cos∠PBC=

4+10-4

2•2• 10

=

10

4

故異面直線PB和AD所成角的余弦值為

10

4

．
（3）由O引OG⊥AD于G，連PG，則PG⊥AD，∠PGO為二面角P-AD-C為平面角，
Rt△PGO中，tan∠PGO=

PO

GO

=2，
即二面角P-AD-C的正切值為2．

點評：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及平面與平面垂直的性質(zhì)和二面角及其度量，同時考查了空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．