Question

19．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，1），若點(diǎn)N（x、y）滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{2x+y-12≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，則使$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$取得取大值的點(diǎn)N的個數(shù)是無數(shù)個．

Answer 1

分析 根據(jù)約束條件畫出可行域，利用平面向量的數(shù)量積建立目標(biāo)函數(shù)，
將目標(biāo)函數(shù)的最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距最大，求出最優(yōu)解的個數(shù)即可．

解答 解：根據(jù)約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{2x+y-12≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，畫出可行域，如圖所示；
則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=（2，1）•（x，y）=2x+y，
設(shè)z=2x+y，
將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距最大，
由于直線z=2x+y與可行域邊界：2x+y-12=0平行，
當(dāng)直線z=2x+y經(jīng)過直線2x+y-12=0上所有點(diǎn)時，z最大，
最大為：12．
則使$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$取得最大值時點(diǎn)N的個數(shù)有無數(shù)個．
故答案為：無數(shù)個．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，是綜合性題目．