Question

15．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖象與x軸的一個交點$（-\frac{π}{12}，0）$到其相鄰的一條對稱軸的距離為$\frac{π}{4}$．若$f（\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}$，則函數(shù)f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $-\sqrt{3}$
• C． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可求函數(shù)的周期T，利用周期公式可求ω的值，由Asin[2×$（-\frac{π}{12}）$+φ]=0，結合范圍0＜φ＜π，可得φ，由$f（\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}$，可解得A的值，由x∈$[0，\frac{π}{2}]$，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解．

解答 解：∵由題意，函數(shù)的周期T=4×$\frac{π}{4}$=π=$\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2．
∵點$（-\frac{π}{12}，0）$在函數(shù)圖象上，可得：Asin[2×$（-\frac{π}{12}）$+φ]=0，解得：φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴由0＜φ＜π，可得：φ=$\frac{π}{6}$．
∵$f（\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}$，可得：Asin（2×$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$，
∴解得：A=$\sqrt{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∵x∈$[0，\frac{π}{2}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．