Question

11．已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，過O作直線AB的垂線，垂足為P，若|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，∠AOB=$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{a}$+y
$\overrightarrow$，則x-y=-2．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=0可得3x+y=0，再由余弦定理及三角形面積公式可得|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{3}{2}$，從而可得（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）•（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）=$\frac{9}{4}$，從而結(jié)合圖象解得．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=0，
∴x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$•$\overrightarrow$-y$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
即x•3•$\sqrt{3}$•cos$\frac{π}{6}$-9x+3y-y•3•$\sqrt{3}$•cos$\frac{π}{6}$=0，
故$\frac{9}{2}$x-9x+3y-$\frac{9}{2}$y=0，
故3x+y=0，
∵AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos$\frac{π}{6}$=3，
∴AB=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|•sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OP}$|•$\sqrt{3}$，
即|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{3}{2}$，
即（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）•（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）=$\frac{9}{4}$，
即9x²+3y²+9xy=$\frac{9}{4}$，
結(jié)合圖象可知，x＜0，
解得，x=-$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{2}$，
故x-y=-2，
故答案為：-2．

點評 本題考查了平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．