Question

已知定義域為的函數(shù)對任意實數(shù)滿足：，且不是常值函數(shù)，常數(shù)使，給出下列結(jié)論：①；②是奇函數(shù)；③是周期函數(shù)且一個周期為；④在內(nèi)為單調(diào)函數(shù)。其中正確命題的序號是___________。

Answer 1

.③

解：根據(jù)題意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，
令y=0可得，2f（x）=2f（x）f（0），又由f（x）不是常函數(shù)，即f（x）=0不恒成立，則f（0）=1，
依次分析4個命題可得：
對于①、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=y=
，可得f（t）+f（0）=
結(jié)合f（0）=1，f（t）=0，可得，則可得，故①錯誤，
對于②、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=0，可得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），f（y）+f（-y）=0不恒成立，f（x）不是奇函數(shù)，故②錯誤，
對于③、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=t可得，在f（x+t）+f（x-t）=2f（x）f（t）=0，
即f（x+t）=-f（x-t），則f（x+3t）=-f（x+t）=f（x-t），即f（x+3t）=f（x-t），則f（x）是周期函數(shù)且一個周期為4t，③正確，
對于④、根據(jù)題意，無法判斷f（x）的單調(diào)性，則④錯誤；
故答案為③．