Question

10．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足sinA+sinB=[cosA-cos（π-B）]•sinC．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若a+b+c=1+$\sqrt{2}$，試求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由誘導(dǎo)公式、正弦定理和余弦定理化簡已知的式子，化簡后由邊的關(guān)系判斷出三角形的形狀；
（2）由（1）和條件化簡后，由基本不等式化簡求出$\sqrt{ab}$的范圍，表示三角形的面積，即可求出答案．

解答 解：（1）∵sinA+sinB=[cosA-cos（π-B）]•sinC，
∴sinA+sinB=（cosA+cosB）•sinC，
由正弦定理和余弦定理得，
a+b=（$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$）•c，
化簡得，2a²b+2ab²=ab²+ac²-a³+ba²+bc²-b³
a²b+ab²=ac²-a³+bc²-b³，
（a+b）（a²+b²-c²）=0，
又a+b＞0，∴a²+b²-c²=0，即a²+b²=c²，
∴△ABC為直角三角形，且∠C=90°；
（2）∵a+b+c=1+$\sqrt{2}$，a²+b²=c²，
∴1+$\sqrt{2}$=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$=（2+$\sqrt{2}$）•$\sqrt{ab}$
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式等號成立，則$\sqrt{ab}$≤$\frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$×$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
即△ABC面積的最大值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用：角化邊，以及基本不等式求三角形面積最值中的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．