Question

已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f(x)=2f(

1

x

)，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=lnx，若在區(qū)間[

1

3

，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

ln3

3

≤a＜

1

e

．

Answer 1

分析：可以根據(jù)函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）=2f（

1

x

），求出x在[

1

3

，1]上的解析式，已知在區(qū)間[

1

3

，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，對(duì)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答：解：在區(qū)間[

1

3

，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
①a＞0若x∈[1，3]時(shí)，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x＞0）
g′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
若g′（x）＜0，可得x＞

1

a

，g（x）為減函數(shù)，
若g′（x）＞0，可得x＜

1

a

，g（x）為增函數(shù)，
此時(shí)f（x）必須在[1，3]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴

f( 1 a )＞0 f(3)≤0 f(1)≤0

，解得，

ln3

3

≤a＜

1

e

①
設(shè)

1

3

＜x＜1，可得1＜

1

x

＜3，
∴f（x）=2f（

1

x

）=2ln

1

x

，此時(shí)g（x）=-2lnx-ax，
g′（x）=-

2+ax

x

，
若g′（x）＞0，可得x＜-

1

a

＜0，g（x）為增函數(shù)
若g′（x）＜0，可得x＞-

1

a

，g（x）為減函數(shù)，
在[

1

3

，1]上有一個(gè)交點(diǎn)，則

f(- 2 a )＞0   f( 1 3 )≥0   f(1)≤0

，解得0＜a≤6ln3②
綜上①②可得 

ln3

3

≤a＜

1

e

；
②若a＜0，對(duì)于x∈[1，3]時(shí)，g（x）=lnx-ax＞0，沒(méi)有零點(diǎn)，不滿(mǎn)足在區(qū)間[

1

3

，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
綜上：

ln3

3

≤a＜

1

e

．
故答案為：

ln3

3

≤a＜

1

e

．

點(diǎn)評(píng)：此題充分利用了分類(lèi)討論的思想，是一道綜合題，難度比較大，需要排除a＜0時(shí)的情況，注意解方程的計(jì)算量比較大，注意學(xué)會(huì)如何分類(lèi)討論．