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已知α、β都是銳角，且
sinβ
sinα
=cos（α+β）．
（1）求證：tanβ=
tanα
1+2tan2α
；
（2）當(dāng)tanβ取最大值時(shí)，求tan（α+β）的值．
證明：∵tanβ=
sinβ
cosβ
=
sinαcos(α+β)
cosβ
=
sinα(cosαcosβ-sinαsinβ)
cosβ
=sinαcosα-sin2αtanβ
∴（1+sin2α）tanβ=sinαcosα
∴tanβ=
sinαcosα
1+sin2α
=
tanα
1+sin2α
cos2α
=
tanα
cos2α+2sin2α
cos2α
=
tanα
1+2tan2α

（2）∵tanα＞0，tanβ＞0
∴tanβ=
1
1
tanα
+2tanα
≤
1
2
2

當(dāng)且僅當(dāng)
1
tanα
=2tanα，即tanα=
2
2
時(shí)，
tanβmax=
2
2
1+2×
1
2
=
2
4

∴tan（α+β）=
2
2
+
2
4
1-
2
2
×
2
4
=
3
2
4
×
4
3
=
2
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（文科做）已知A、B都是銳角，且A+B≠
π2
，（1+tanA）（1+tanB）=2，求證A+B=45°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：044

已知a、b都是銳角，且3sin2a+2sin2b=1，3sin2a-3sin2b=0。求證：。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

已知a、b都是銳角，且3sin2a+2sin2b=1，3sin2a-3sin2b=0。求證：。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（文科做）已知A、B都是銳角，且A+B≠
π
2
，（1+tanA）（1+tanB）=2，求證A+B=45°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2005-2006學(xué)年廣東省廣州113中學(xué)高二（下）3月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（文科做）已知A、B都是銳角，且A+B，（1+tanA）（1+tanB）=2，求證A+B=45°．

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同步練習(xí)冊(cè)答案