Question

已知f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R）在區(qū)間[-1，1]上是增函數．
（Ⅰ）求實數a的值組成的集合A；
（Ⅱ）設關于x的方程f（x）=

1

x

的兩個非零實根為x₁、x₂．試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數單調遞增導數大于等于零列出不等式解之
（Ⅱ）根據一元二次方程根與系數的關系寫出不等式先看成關于a的不等式恒成立再看成關于t的一次不等式恒成立，讓兩端點大等于零

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=

4+2ax-2x2

(x2+2)2

=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

，
∵f（x）在[-1，1]上是增函數，
∴f'（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0對x∈[-1，1]恒成立．①
設φ（x）=x²-ax-2，
方法一：φ
①?

φ(1)=1-a-2≤0 φ(-1)=1+a-2≤0

?-1≤a≤1，
∵對x∈[-1，1]，f（x）是連續(xù)函數，且只有當a=1時，f'（-1）=0以及當a=-1時，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．方法二：
①?

a 2 ≥0 φ(-1)=1+a-2≤0

或

a 2 ＜0 φ(1)=1-a-2≤0

?0≤a≤1或-1≤a≤0
?-1≤a≤1．
∵對x∈[-1，1]，f（x）是連續(xù)函數，且只有當a=1時，f'（-1）=0以及當a=-1時，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
（Ⅱ）由

2x-a

x2+2

=

1

x

，得x²-ax-2=0，∵△=a²+8＞0
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
從而|x₁-x₂|=

(  x1+x2)2- 4x1x2

=

a2+8

．
∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=

a2+8

≤3．
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0對任意t∈[-1，1]恒成立．②
設g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
方法一：
②?g（-1）=m²-m-2≥0，g（1）=m²+m-2≥0，
?m≥2或m≤-2．
所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．
方法二：
當m=0時，②顯然不成立；
當m≠0時，
②?m＞0，g（-1）=m²-m-2≥0或m＜0，g（1）=m²+m-2≥0
?m≥2或m≤-2．
所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．

點評：本小題主要考查函數的單調性，導數的應用和不等式等有關知識，考查數形結合及分類討論思想和靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力．