Question

 本題有2小題，第1小題6分，第2小題10分．

如圖，平面上定點到定直線的距離，為該平面上的動點，過作直線的垂線，垂足為，且．

（1）試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求動點的軌跡的方程；

（2）過點的直線交軌跡于、兩點，交直線于點，

已知，，求證：為定值．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）方法一：如圖，以線段的中點為原點，

以線段所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系．

則，．            ……………………………2分

設(shè)動點的坐標(biāo)為，則動點的坐標(biāo)為

，，    …………2分

由，得，…2分

方法二：由得，．…………………………2分

所以，動點的軌跡是拋物線，以線段的中點

為原點，以線段所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，可得軌跡的方程為：．…………………………………………………………4分

（2）方法一：如圖，設(shè)直線的方程為，，，……1分

則. ……………………………………………………………………………1分

聯(lián)立方程組消去得，

，，故 …………………………………………1分

  ……………………………………………………………………………1分

由，得，

，，……………………………………………………2分

整理得，，，

.…………………4分

方法二：由已知，，得.    …………………2分

于是，，     ① …………………………………………………3分

如圖，過、兩點分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，

則有     ② …………………………………………………3分

由①，②得.…………………………………………………………………2分